El problema del mes

Sea \(S\) el desplazamiento unilateral (shift) en el espacio de Hardy \(H^2\), es decir, \((Sf)(z) = z f(z)\).

1. Demuestra que \(S\) no tiene valores propios.
2. Demuestra que todo \(\lambda\) en el disco unitario abierto \(\mathbb{D}\) es un valor propio de \(S^*\), con vector propio el núcleo de Szegő $$ k_\lambda(z) = \frac{1}{1 - \overline{\lambda}\, z}. $$
3. Concluye que el espectro de \(S\) es el disco unitario cerrado \(\overline{\mathbb{D}}\).